Modelli matematici e Coronavirus

Una delle domande più frequenti di questi giorni è: Si può calcolare matematicamente l’evoluzione dell’epidemia da coronavirus? La risposta è sì. La matematica ha strumenti fortissimi per fare questo tipo di previsioni attraverso modelli matematici.

Un modello matematico è la combinazione di ipotesi, variabili e parametri. Lo scopo di un modello è quello di predire l’evoluzione dell’epidemia e dunque di identificare le strategie più opportune per far diminuire la trasmissione. Costruire un modello matematico significa dunque formulare delle relazioni tra i fattori determinanti l’epidemia.

Tale “dote” della matematica non è un prodigio o una magia per pochi adepti. Esso è il risultato di una serie di passaggi logici, performanti quanto logicamente perfetti, scritti in formule matematiche e, in alcuni casi, facilmente accessibili a chiunque conosca un pò di algebra (polinomi, equazioni e disequazioni, …). I modelli matematici fanno uso di tre elementi: matematica, statistica e probabilità.

Vediamo dunque come si costruisce il modello matematico SIR per le epidemie.

Il modello SIR.

Il modello SIR è molto semplice ed ha come idea base quella di misurare un valore numerico (R_t) che permetta di spiegare la dinamica dell’epidemia.

Come si trova R_t?

Per identificare il valore di R_t dobbiamo porre delle condizioni. Trattandosi di un modello matematico, queste posizioni iniziali sono scritte ovviamente in formule matematiche. In questo caso le formule proposte sono davvero molto semplici: esse fanno uso dell’algebra, ossia delle comuni equazioni e disequazioni apprese durante il primo/secondo anno di scuola superiore.

I fondamenti: ciò che possiamo misurare

Come sai, ogni equazione o disequazione è composta da coefficienti, ossia numeri reali, e da variabili, cioè elementi matematici di cui dobbiamo ricercare il valore (nel caso dell’equazione) o un insieme di valori (nel caso della disequazione).

Innanzitutto definiamo i protagonisti del nostro modello, ossia i coefficienti, ed indichiamo ciascuno di essi con dei simboli:

1. N = popolazione totale;
2. S = numero suscettibili, ossia numero di persone sane che non hanno contratto la malattia e che potrebbero contrarla (quindi sono esclusi coloro che per esempio hanno il vaccino, come nel caso della classica influenza, o non vengono mai in contatto con persone infette);
3. I = numero degli infetti, ossia persone che hanno già contratto la malattia e non sono ancora guarite;
4. R = numero di persone che hanno avuto la malattia e che sono guarite o sono decedute.

Adesso poniamo le formule in gioco, ossia calcoliamo il numero di persone che vengono infettate e quelle che, dopo la malattia, sono rimosse dal calcolo.

Dunque determiniamo il numero dei contagi che avvengono in un certo tempo (che indichiamo con Δt) ed il numero di rimossi. Entrambi i valori sono calcolati in funzione del tempo. Il tempo è infatti l’elemento che rende possibile la comprensione della dinamica dell’epidemia, cioè fa capire se l’epidemia è in fase di espansione e quindi non ha ancora raggiunto il picco, oppure se l’epidemia sta retrocedendo. 

Poiché il modello matematico descrive una situazione reale, è necessario prendere in considerazione tutti quegli elementi esogeni, ossia esterni all’epidemia e dunque controllabili, che influiscono sulla propagazione dell’epidemia stessa. Essi sono il numero dei contatti avuti in media da ogni persona infetta e le misure di contenimento del Sistema Sanitario.

Probabilità di essere contagiati.

Per quanto riguardo il primo elemento (numero di contatti) è evidente che, supponendo che ogni giorno ogni individuo ne incontra mediamente un altro, N individui producono un numero di contatti pari a:

Ne deriva che la probabilità di un soggetto suscettibile S di essere contagiato da un infetto I è:

Questa prima formulazione ci permette di comprendere perché viene richiesto di ridurre i contatti sociali: solo attraverso la riduzione dei contatti, diminuisce matematicamente la probabilità di essere contagiati.

Numero di contagi e di rimossi

Ma quanto è il numero di contagiati in un intervallo di tempo Δt? Per rispondere basta eseguire una semplice moltiplicazione:

La formula appena introdotta ci dice che il numero di contagiati è direttamente proporzionale al numero dei suscettibili e degli infetti, tutto moltiplicato per una costante a.

Essa è un valore che tiene conto del numero di contatti di ogni persona e del grado di trasmissibilità del virus. È evidente che se il virus è più trasmissibile, il numero di contagi aumenta. Così come, se il numero di contatti aumenta, il numero di contagi aumenta anche a fronte di un virus con bassa trasmissibilità. Ne deriva che se un virus è fortemente trasmissibile ed il numero di contatti aumenta, l’epidemia si sviluppa velocemente.

Ma il numero di contagi da sé non fornisce la grandezza dell’epidemia. Perché se da un lato ogni giorno un certo numeri di individui sani viene contagiato, dall’altro un certo numero di individui infetti guarisce o, nei casi peggiori, muore. Questo significa che dobbiamo calcolare il numero dei rimossi, ossia degli individui che sono stati infetti e che non lo so più e che si spera non sia più capaci di trasmettere l’epidemia. Per poter calcolare questo valore dobbiamo tenere conto del numero infetti e delle politiche del Sistema Sanitario per la cura degli infetti, come ad esempio cure ospedaliere ed isolamento. Il numero dei rimossi è:

Come puoi notare entrambe le formule presentate sono in funzione del tempo Δt, in quanto l’osservazione dei numeri di Suscettibili, Infetti e Rimossi avviene in precisi istanti temporali.

Congettura: la dinamica in due istanti temporali

Consideriamo adesso due istanti temporali successivi, che, per semplicità, indichiamo con t₁ e t₂, con t₁ < t₂. All’istante temporale t₁, si ha un certo numero di suscettibili S₁, di infetti I₁ e di rimossi R₁. Quando eseguiamo la rilevazione al tempo t₂, avremo una modifica dei numeri del contagio, ossia ci sarà un numero di suscettibili S₂, di infetti I₂ e di rimossi R₂.

È evidente che i numeri al tempo t₂ possono essere scritti utilizzando le formule precedenti e quindi sotto forma di funzione del tempo e delle rilevazioni a t₁. In particolare, si ha che il numero dei suscettibili S₂ è:

ossia il numero dei suscettibili a t₂ è dato dal numero dei suscettibili a t₁ meno il numero dei contagiati e dei rimossi durante l’intervallo Δt.

Il numero degli infetti I₂ è dato da:

Questa formula sta ad indicare che il numero degli infetti al tempo t₂ è uguale al numero degli infetti al tempo t₁ più il numero di coloro che nell’intervallo di tempo Δt sono stati contagiati, meno il numero di soggetti che nello stesso intervallo Δt sono stati rimossi.

Il numero dei rimossi R₂ è dato da:

ossia il numero dei rimossi al tempo R₁ più quelli rimossi nel tempo Δt.

Lo sviluppo dell’epidemia

A questo punto poniamo una semplice domanda: come facciamo a sapere che l’epidemia si sta espandendo? La risposta è abbastanza ovvia. L’epidemia si espande quando, osservando due istanti temporali (t₁ e t₂), il numero di contagiati I₂ è maggiore del numero dei contagiati I₁, ossia:

Scriviamo I₂ in funzione dei valori al tempo t₁ come calcolato sopra, ed eseguiamo tutte le semplificazioni algebriche, ossia:

Siamo quasi arrivati alla fine dei passaggi matematici. Ricordi quando, studiando i polinomi facevi la messa in evidenza di alcuni fattori? Bene, è giunta l’ora di applicarla mettendo in evidenza il prodotto I₁ · Δt, cioè:

A questo punto risolviamo la disequazione. Essa ci chiede per quali valori di a e b il prodotto dei due fattori è maggiore di zero. È evidente che il primo fattore I₁ · Δt è sempre maggiore di zero (almeno fin quando ci sono infetti!). Il secondo fattore è maggiore di zero quando:

Quanto ho appena provato dice che l’epidemia si espande fino a quando il numero (a·S₁)/b, che da adesso in poi chiamiamo R_t, sarà maggiore di 1.

Poiché in un’epidemia il numero degli infetti e dei rimossi è sempre inferiore alla popolazione totale, possiamo dire che il numero dei suscettibili S₁ è circa pari a N (ossia S₁ ≈ N). Sostituendo N, si ottiene che l’epidemia si sviluppa quando :

Abbiamo appena identificato il nostro numero chiave. Esso ci dice che quando R_t è maggiore di 1, allora l’epidemia è in espansione, e che quando R_t è minore di 1, l’epidemia si sta riducendo e non ha quindi luogo.

A questo punto restano due domande: come calcolare a e b? Per rispondere basta ricordare che a è la costante che indica la contagiosità del virus ed il numero di contatti degli individui. Come già detto sopra, é evidente che, riducendo il numero dei contatti, il valore di a diminuisce e quindi il numero dei contagiati diminuisce essendo il valore direttamente proporzionale a R_t.

La costante b è legata alle politiche intraprese dal Sistema Sanitario. Più si applicano misure di isolamento per gli infetti, più il valore di b aumenta. Dunque, essendo R_t un valore direttamente proporzionale ad a ed inversamente proporzionale a b, se a diminuisce e b cresce, R_t assumerà necessariamente valori inferiori ad 1. Ricorda infatti che qualunque frazione che ha numeratore minore del denominatore, ha sempre valore minore di 1.

Conclusione

Il modello matematico è una ricostruzione del mondo reale in chiave matematica. Esso utilizza le informazioni realmente presenti e, traducendole in formule, simula l’andamento della realtà in modo attendibile. L’uso della matematica nella ricerca è di fondamentale importanza per capire la realtà e prevederne i possibili scenari.

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