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Dopo aver appreso il calcolo letterale e la risoluzione delle espressioni con le lettere, il passo successivo per ogni studente che si avvicina allo studio dell’algebra, è quello di imparare a risolvere il quadrato del binomio ed il cubo del binomio applicando delle semplici regole. Ma come identificare i coefficienti di un binomio elevato alla quarta, alla quinta e così via? Per rispondere a questo, possiamo utilizzare due strumenti: il triangolo di Tartaglia ed il teorema del binomio.
Ripetiamo le regole
Risolvere il quadrato del binomio è un passaggio abbastanza immediato, in quanto la regola è facilmente memorizzabile e sebbene con qualche difficoltà iniziale, anche facilmente applicabile.
“Il quadrato di un binomio è un trinomio formato dal quadrato del primo termine, più o meno (a seconda del segno) il doppio prodotto del primo per il secondo termine, più il quadrato del secondo termine”.
Una regola molto semplice che in formule si traduce così:
[latex]\left ( x\pm y \right )^{2}=x^{2}\pm 2xy+y^{2}[/latex]
La regola del cubo del binomio è altrettanto semplice:
“Il cubo di un binomio è un quadrinomio formato dal cubo del primo termine, più o meno il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo termine, più il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo, più o meno il cubo del secondo termine”.
In formule si ha:
[latex]\left ( x\pm y \right )^{3}=x^{3}\pm 3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}[/latex]
Il problema…
Come hai visto l’applicazione delle due regole è molto semplice e dopo aver appreso le formule, la risoluzione è immediata. Ma cosa succede se ti viene richiesto di risolvere il seguente binomio?
[latex]\left ( x+ y \right )^{4}[/latex]
Oppure il seguente?
[latex]\left ( x+ y \right )^{5}[/latex]
Per rispondere abbiamo due strade possibili: il triangolo di Tartaglia e il teorema del binomio. In questo articolo ti spiegherò il teorema del binomio e la relativa dimostrazione per induzione.
La soluzione: teorema del binomio
Il teorema del binomio afferma che:
[latex]\left ( x+ y \right )^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}y^{n-k}[/latex]
ossia che, dato un binomio elevato ad n, esso è pari alla sommatoria per k che va da 0 ad n del coefficiente binomiale di n su k moltiplicato per x elevato a k e per y elevato ad n meno k.
Dimostriamo che il teorema è vero usando il principio di induzione.
Suppongo che il teorema sia vero per n = 1, per cui la formula si riduce a:
[latex]\left ( x+ y \right )^{1}=\binom{1}{0}x^{0}y^{1}+\binom{1}{1}x^{1}y^{0}=y+x[/latex]
Ne consegue che il teorema per n = 1 è verificato.
Suppongo che il teorema sia vero per n-1 e dunque verifico che esso è vero per n. Si ha:
[latex]\left ( x+ y \right )^{n}=(x+y)(x+y)^{n-1}=[/latex]
[latex]=(x+y)\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}x^{k}y^{n-1-k}=[/latex]
[latex]=\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}x^{k+1}y^{n-1+k}+\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}x^{k}y^{n-k}=[/latex]
Poniamo dunque i = k+1 nel primo membro e i = k nel secondo membro dell’ultima somma, per cui si ottiene:
[latex](x+y)^{n}=\sum_{i=1}^{n}\binom{n-1}{i-1}x^{i}y^{n-i}+\sum_{i=0}^{n-1}x^{i}y^{n-1}=[/latex]
[latex]=x^{n}+\sum_{i=1}^{n-1}\left [ \binom{n-1}{i-1}+\binom{n-1}{i} \right ]x^{i}y^{n-i}+y^{n}=[/latex]
[latex]=x^{n}+\sum_{i=1}^{n-1}\binom{n}{i}x^{i}y^{n-i}+y^{n}=[/latex]
[latex]=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}x^{i}y^{n-i}[/latex]
avendo posto che:
[latex]\binom{n}{i}=\binom{n-1}{i-1}+\binom{n-1}{i}[/latex]
Conclusione
Dunque, applicando la regolare, trovo che:
[latex](x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{4}+y^{4}[/latex]
